Modulus Bilangan Kompleks

by
Konjugat, Modulus, dan Argumen Bilangan Kompleks, Materi Matematika

Pengenalan

Bilangan kompleks merupakan jenis bilangan yang terdiri dari dua bagian, yaitu bagian real dan bagian imajiner. Bagian real adalah bilangan nyata, sedangkan bagian imajiner adalah bilangan yang dikalikan dengan satuan imajiner, biasanya dinyatakan sebagai i. Modulus bilangan kompleks adalah panjang jarak antara titik yang mewakili bilangan kompleks tersebut dengan titik asal pada koordinat kartesian.

Rumus Modulus

Modulus bilangan kompleks dinyatakan dengan rumus:

|z| = √(a^2 + b^2)

di mana z = a + bi adalah bilangan kompleks, a adalah bagian real, dan b adalah bagian imajiner.

Contoh Soal

Contoh 1:

Tentukan modulus dari bilangan kompleks z = 3 + 4i.

Dengan menggunakan rumus modulus, kita dapat menghitung:

|z| = √(3^2 + 4^2)

|z| = √(9 + 16)

|z| = √25

|z| = 5

Jadi, modulus dari bilangan kompleks z = 3 + 4i adalah 5.

Contoh 2:

Tentukan modulus dari bilangan kompleks z = -2 – 3i.

Dengan menggunakan rumus modulus, kita dapat menghitung:

|z| = √((-2)^2 + (-3)^2)

|z| = √(4 + 9)

|z| = √13

Jadi, modulus dari bilangan kompleks z = -2 – 3i adalah √13.

Sifat-Sifat Modulus

Berikut adalah beberapa sifat-sifat modulus bilangan kompleks:

  1. |z| ≥ 0, dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika z = 0.
  2. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (ketaksamaan segitiga).
  3. |z1 – z2| ≥ ||z1| – |z2|| (ketaksamaan segitiga terbalik).
  4. |z1z2| = |z1| * |z2|.
  5. |z1/z2| = |z1| / |z2|, untuk z2 ≠ 0.

Penggunaan dalam Geometri

Modulus bilangan kompleks juga dapat digunakan dalam geometri. Jika kita memandang bilangan kompleks sebagai titik pada koordinat kartesian, maka modulusnya akan memberikan informasi tentang jarak titik tersebut dengan titik asal.

Misalnya, jika kita memiliki bilangan kompleks z = a + bi, maka panjang vektor yang menghubungkan titik (0, 0) dengan titik (a, b) adalah modulus dari bilangan kompleks tersebut.

Penutup

Modulus bilangan kompleks adalah panjang jarak antara titik yang mewakili bilangan kompleks dengan titik asal pada koordinat kartesian. Modulus dinyatakan dengan rumus |z| = √(a^2 + b^2), di mana z = a + bi adalah bilangan kompleks, a adalah bagian real, dan b adalah bagian imajiner. Modulus memiliki beberapa sifat dan juga dapat digunakan dalam geometri. Dengan memahami konsep modulus bilangan kompleks, kita dapat lebih memahami dan mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari.