Logika Matematika - Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi

 

 

LOGIKA MATEMATIKA

 

Pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak kedua–duanya.

 

a.  Negasi suatu Pernyataan

Ingkaran/negasi adalah pernyataan majemuk moner. Negasi dari pernyataan p  dilambangkan  ~p dibaca  tidak benar bahwa  p.  Jadi apabila pernyataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah, begitu sebaliknya.

 

Tabel kebenaran negasi.

p	~p	~(~p)
B	S	B
S	B	S

 

Negasi dari Negasi suatu pernyataan ekuivaen dengan pernyataan semula.

~(~p) = p

 

Berikut ini merupakan jenis-jenis dari pernyataan majemuk biner:

 

b.      Konjungsi (p ∧ q, dibaca: “p dan q”)

c.       Disjungsi (p V q, dibaca:” p atau q”)

d.      Implikasi (p Þ q, dibaca: “Jika p maka q”)

e.       Biimplikasi ( p Û q: dibaca “p jika dan hanya jika q”)

 

b.    Konjungsi

 

 

 

Ilustrasi:

Mahasiswa yang mendapat beasiswa berprestasi adalah mahasiswa yang IP kumulatifnya ≥ 3,0 dan telah menempuh ≥ 40 SKS

Mahasiswa yang IPK nya  ≥ 3,0 dinyatakan benar, dan sebaliknya bernilai salah

Mahasiswa yang telah menempuh ≥ 40 SKS dinyatakan benar, sebaliknya salah

Mahasiswa mendapat beasiswa benar, sebaliknya salah

p = Marni memiliki IPK ≥ 3,0

q = Marni telah menempuh ≥ 40 sks

pLq : Marni memiliki IPK 3,0 dan telah menempuh ≥ 40 sks

 

 

Berikut ini tabel kebenaran konjungsi.

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Kata-kata yang membentuk konjungsi selain kata dan adalah meskipun, tetapi, sedangkan, padahal, yang, juga, walaupun, dan lain-lain

Contoh:

1). Tentukan kebenaran dari kalimat “2 + 6 = 8 walaupun Makassar bukan ibukota provisi Sulawesi Selatan

p = 2 + 6 = 8    B.   t(p) = B

q = Makasar bukan ibukota Sulawesi Selatan. S. t(q) = S

Jadi  Kalimat “ 2 + 6 = 8, walaupun Makasar bukan Ibukota Sulawesi Selatan nilai kebenarannya salah ditulis  t(pLq) = S

 

 2. Tentukan nilai y ∈ ℝ agar kalimat “(3y + 1 = 7) dan 3 adalah bilangan prima” bernilai

a. benar                                         b. Salah

p= (3y+1 =7)                                             q= 3 adlah bilangan prima.

q= “ 3 adalah bilangan prima” adalah pernyataan yang bernilai benar.

P=(3y+1=7) adalah kalimat terbuka. Agar konjungsi (pLq) bernilai benar maka kalimat terbuka  P=(3y+1=7) diubah menjadi pernyataan yang benar. Agar P=(3y+1=7) menjadi pernyataan yang benar, haruslah y = 2, dan bernilai salah apabila y≠ 2

c.    Disjungsi

 

 

 

Ilustrasi.

Bagi yang memiliki undangan atau membeli tiket pertunjukan, boleh menonton pertunjukan itu.

P: Sam memiliki undangan    (B) , sebaliknya (S)

Q: Sam membeli tiket pertunjukan (B), sebaliknya (S)

pVq: Sam memiliki undangan atau membeli tiket pertunjukkan.

p	q	p V q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh: Tentukan nilai xÎR ( x anggota himpunan bilangan riil), agar kalimat “ Soeharto adalah Presiden RI ke- 4 atau X x 5 = 20 bernilai benar.

p= Soeharto adalah Presiden RI ke-4. t(p) = S.

q(x): X x 5 =20.

Karena p: bernilai salah, maka agar p Vq bernilai benar, maka q harus bernilai benar. Agar q bernilai benar, karena q:  x = 4.

 

d.  Implikasi ( kondisional)

 

 

Ilustrasi.

Jika Pujo naik kelas maka Pujo mengajak adiknya ke Yogya.

p= Pujo naik kelas. Bernilai benar, sebaliknya bernilai salah.

q= Pujo mengajak adiknya ke Yogya. Bernilai benar, sebaliknya bernilai salah.

p	q	p Þ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

 

p  = antiseden = pendahulu = p syarat perlu bagi q

q  = konsekuen = pengikut  = q syarat cukup bagi p.

Isilah tabl kebenaran implikasi di bawah ini!

 

 

 

 

 

Tabel Kebenaran implikasi dan invers serta konversnya

p	q	~p	~q	p Þ q	~p Þ ~q	q Þ p	~q Þ~p
1	2	3	4	5	6	7	8
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

 

Perhatikan dan bandingkan nilai kebenaran dari pernyataan pada kolom 5 dengan kolom 8, dan kolom 6 dan kolom 7. Maka terlihat bahwa pada sepasang-sepasang kolom tersebut nilai kebenarannya sama. Hal ini menunjukkan bahwa pernyataan  

(p Þ q) º (~q Þ ~p) dan (q Þ p) º (~p Þ ~q). Pernyataan-pernyataan tersebut dikatakan saling kontra posisi atau saling kontra positip, pernyataan p Þ q dan          q Þ p dikatakan saling konvers, dan pernyataan p Þ q dan ~p Þ ~q dikatakan saling invers.

                                    konvers

(p Þ q)                                                       (q Þ p)

                            

                           Kontra posisi

        Invers                                                                 Invers

 

 

(~p Þ ~q)                                                  (~q Þ ~p)

                                    Konvers

e.    Biimplikasi ( bi kondisional)

Biimplikasi adalah konjungsi antara suatu implikasi dengan konversnya. Jadi jika p dan q adalah pernyataan-pernyataan tunggal maka biimplikasi dari p dan q disimbolkan dengan p Û q dibaca “ p jika dan hanya jika q “ atau “ jika p maka q dan jika q maka p”, sehingga  p Û q º (p Þ q) L (q Þ p). Tabel kebenaran biimplikasi sebagai berikut:

 

p	q	p Þ q	q Þ p	(p Þ q)L (q Þ p)º (pÛq)
1	2	3	4	5
B	B	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dengan memperhatikan nilai kebenaran pada kolom 5 dapat didefinisikan bahwa:

 

 

 

 

 

 

Contoh:

Segitiga ABC samakaki jika dan hanya jika segitiga ABC dua buah sisinya sama panjang.

p = segitiga ABC sama kaki

q = segitiga ABC dua buah sisinya sama panjang.

p Û q  = segitiga ABC sama kaki Û segitiga ABC dua buah sisinya sama panjang.

 

Latihan1.

Jika di ketahui p, q, dan r adalah pernyataaan-pernyataan yang nilai kebenarannya jelas, gunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa:

1.      p  L q º q L p

2.      p  V q º q V p

3.      ~( p L q) º ~p V ~q

4.      ~( p V q) º ~p L ~q

5.      (p Vq) V r º p V (qVr)

6.      (pLq) L r º p L (qLr)

7.      p L (qVr) º (pLq) V (pLr)

8.      (pLq) V r º (pVr) L (qVr)

 

f.      Tautologi

 

 

 

 

Contoh

1.      p V ~p

2.      [(p Þq) Lp]Þ q

 

Tabel kebenaran kedua pernyataan di atas adalah

 

p	~p	p V ~p
B	S	B
S	B	B

 

 Pernyataan (p V~p) selalu bernilai benar

 

 

 

 

p	q	p Þ q	(p Þ q)Lp	[(p Þ q)Lp]Þq
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Pernyataan

[(p Þ q)Lp]Þq  selalu bernilai benar.

Pernyataan:

p V ~p  dan

[(p Þ q)Lp]Þq adalah tautologi.

 

g.    Kontradiksi

 

 

 

Contoh

1.      p L ~p

2.      ~[{(p Þq) L~q}Þ ~p]

Tabel kebenaran kedua pernyataan di atas adalah

p	~p	p L ~p
B	S	S
S	B	S

 

Pernyataan (p L~p) selalu bernilai salah apapun kondisi p

 

 

 

p	q	p Þq	~q	{(p Þ q)L~q}	~p	{(p Þ q)L~q}Þ~p	~[{(p Þ q)L~q}Þ~p]
B	B	B	S	S	S	B	S
B	S	S	B	S	S	B	S
S	B	B	S	S	B	B	S
S	S	B	B	B	B	B	S

 

Pernyataan ~[{(pÞq)L~q}Þ~p] selalu bernilai salah apapun kondisi dari p dan q.

 

h.    Argumen dan Penarikan Kesimpulan

Argumen adalah rangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai makna penarikan kesimpulan.

Argumen terdiri dari dua kelompok pernyataan. Pertama kelompok pernyataan-pernyataan premis, dan kelompok kedua konklusi atau kesimpulan.

 

Modes ponens

Contoh

Semua bilangan genap habis dibagi 2                 (premis)

12 adalah bilangan genap                                  (premis)

Jadi 12 habis dibagi 2                                       (konklusi)

 

Jika x adalah  bilangan genap maka x habis dibagi 2

     p                       Þ            q

     p

 

                                    \                        q

p: x adalah bilangan genap

q: x habis dibagi 2

12 Îx,  jadi 12 habis dibagi 2

Suatu argumen dikatakan syah jika implikasi dari premis dan simpulannya adalah suatu tautologi.

Argumen dari

p  Þ  q

 p

 

\    q  adalah syah jika [(p  Þ  q) L p] Þ q adalah suatu taultologi

 

p	q	p Þ q	(p Þ q)Lp	[(p Þ q)Lp]Þq
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Terbukti bahwa

[(p  Þ  q) L p] Þ q adalah tautologi. Jadi

p  Þ  q

 p

 

\    q

Adalah argumen yang syah.

Argumen di atas disebut modus ponens.

 

Modus Tollens

Argumen

p Þ q          B

       ~q         B

\ ~p            B  

Argumen ini syah, jika {( p Þ q )L~q}Þ ~p adalah tautologi

 

 

 

 

 

p	q	p Þq	~q	{(p Þ q)L~q}	~p	{(p Þ q)L~q}Þ~p
1	2	3	4	5	6	7
B	B	B	S	S	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	S	B	B
S	S	B	B	B	B	B

 

 t[{(p Þ q)L~q}Þ ~p] adalah benar semua. Jadi {(p Þ q)L~q}Þ ~p adalah tautologi

 

 

 

Jadi

p Þ q          B

       ~q         B

\ ~p            B      adalah argumen yang syah

 

Silogisme.

Bentuk argumen silogisme adalah

p Þ q            B

q Þ r             B

\ p Þ r        B

Buktikan bahwa argumen ini syah dengan membuktikan bahwa:

[(p Þ q) L( q Þ r)] Þ( p Þ r)  adalah tautologi.

Contoh

Jika Jakarta turun hujan deras maka Jakarta banjir

Jika Jakarta banjir maka perekonomiandi Jakarta terganggu.

Jadi, Jika Jakarta turun hujan deras maka perekonomian di Jakarta terganggu.

Argumen-argumren lain adalah

4.      p Lq                  5. P                    6.  p V q       

p                           q                              ~q

\q                    \ p L q                 \  p          

Simplifikasi            konjungsi          Silogisme disjungtif

7.       p Þ q              B          8. p Þ q          B          9.   p

r Þ s               B              r Þ s           B               \ pVq

p V r                B            ~q V~ s         B

\ q V s           B          \ ~p V~ r       B

Dilema konstruktif         Dilema ditruktif addition (add).

Buktikan bahwa argumen nomor 4 sampai 9 adalah argumen yang syah (valid).

 

i.      Predikat dan Kalimat berkuantor

Dalam bahasa, predikat menunjukkanbagian kalimat yang memberi informasi tentang subjek. Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang memerlukan subjek disebut Predikat. Prediakat biasanya disimbolkan dengan huruf. Perhatikancontoh berikut:

 p:  adalah jendela dunia

q:   memakan rumput

Keduanya merupakan kalimat yang tidak lengkap. Agar menjadi kalimat yang lengkap harus disubstitusikan subjek di depan kalimat.

Misalnya (Buku) adalah jendela dunia.

                 (Kerbau) memakan rumput.

Untuk menyatakan substitusi pada variabel, maka kalimat yang tidak lengkap di atas ditulis  p(x), q(x), ... dst. Sebagai contoh  p(x): x habis dibagi 3. Jika x disubstitusi dengan 27, maka p(x) menjadi: 27 habis dibagi 3. Maka p(x) menjadi kalimat yang benar karena “ 27 habis dibagi 3.Cara lain adalah dengan membubuhkan kuantor di depan kalimat. Kuantor adalah kata, seperti: beberapa, semua, dan kata-kata lain yang rnunjukkan berapa banyaknya elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar.

Ada dua macam kuantor, yaitu kuantor universal, dan kuantor eksistensial.

1.      Kuantor Universal.

Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat  yang menyatakannya.

Simbol untuk kuantor universal adalah  " dibaca “untuk setiap.”

Jika q(x): x bilangan bulat, x² ≥ 0

"(x)q(x): dibaca “ untuk setiap x, x bilangan bulat, x² ≥ 0.

Kalimat q(x) yang belum jelas nilai kebenarannya, setelah diberi kuantor menjadi menjadi suatu pernyataan. Dalam hal ini pernyataan yang bernilai benar (B).

Jika p(x): x habis dibagi 3, maka "(x)p(x): dibaca: “ Untuk setiap x, x habis dibagi 3.”

Maka "(x)p(x) menjadi pernyataan yang bernilai salah (S).

2.      Kuantor eksistensial

Kuantor eksistensial, menunjukkan bahwa ada (sekurang-kurangnya satu) objek dalam semesta pembicaraan  mempunyai sifat yang menyatakannya. Simbol kuantor eksistensial adalah $ dibaca “ ada” atau “ beberapa”

Jika p(x): x habis dibagi 3, maka ($x)p(x) dibaca: “ Ada x, x habis dibagi 3.” Kalimat ini adalah pernyataan yang benar.

Jika q(x): x bilangan bulat, x² ≥ 0 dibubuhi kuantor eksistensial sehingga ($x)q(x): ada x bilangan bulat, x² ≥ 0, adalah pernyataan yang bernilai salah.

 

Benar atau salah atau belum mempunyai nilai kebenaran!

1.      Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil

2.      Ada bilangan ganjil yang bukan bilangan prima

3.      Beberapa kabupaten di Jawa Tengah termasuk kategori miskin.

4.      Ada xΠhimpunan bilangan bulat, sehingga 2x adalah bilangan genap.

5.      Untuk semua xΠbilangn real, sehingga  x² > 0

 

Negasi Pernyataan berkuantor.

Pada subbab sebelumnya dinyatakan bahwa negasi suatu pernyataan, adalah pernyataan baru yang bernilai salah jika pernyataan semula benar, dan pernyataan yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah. Definisi ini juga berlaku pada pernyataan berkuantor.

Pilihlah negasi dari pernyataan berkuantor yang tepat dari pernyataan di bawah ini!

1.      Semua mahluk hidup akan mati. Negasi dari pernyataan ini adalah

A.     Ada mahluk hidup yang tidak akan mati.

B.     Semua mahluk hidup tidak akan mati

C.     Beberapa mahluk hidup tidak akan mati.

D.     Tidak ada mahluk hidup yang akan mati.

 

2.      Untuk beberapa x bilangan nyata, maka (x² -1) = (x +1)(x -1), negasinya adalah....

A.     Untuk semua x bilangan nyata,  maka (x² -1) = (x +1)(x -1)

B.     Untuk semua x bilangan nyata, maka (x² -1) ≠ (x +1)(x -1)

C.     Ada x bilangan nyata, sehingga (x² -1) = (x +1)(x -1)

D.     Tidak ada x bilangan nyata sehingga (x² -1) ≠ (x +1)(x -1)

 

Negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial, dan sebaliknya.

Untuk negasi suatu pernyataan berkuantor, maka kuantor dan kalimat yang belum lengkap dinegasikan.

1.      ~{("x)p(x)}= ~("x) ~ p(x) = ($x) [~ p(x)].

2.      ~{($x)p(x)}= ~($x) ~ p(x) = ("x) ~ p(x).

3.      ~{("x)p(x)} dapat ditulis                     = ($x).

 

Jadi Negasi dari “ Semua mahluk hidup akan mati adalah

Beberapa mahluk hidup tidak akan mati.

Negasi dari beberapa x bilangan nyata, maka (x² -1) = (x +1)(x -1), adalah

Untuk semua x bilangan nyata, maka (x² -1) = (x +1)(x -1)

Jadi, negasi dari “Semua mahluk hidup akan mati.” Adalah “ Beberapa mahluk hidup tidak akan mati.”

Pernyataan nomor 2:” Untuk beberapa x bilangan nyata, maka (x² -1) = (x +1)(x -1).”

Negasinya adalah:”Untuk semua x bilangan nyata, maka (x² -1) ≠ (x +1)(x -1).